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Cesgranrio · Transpetro · Profissional de Nível Médio Júnior, ênfase Dutos e Terminais · 2023 · questão 12

Cesgranrio Transpetro 2023 Matemática · Juros compostos também em Matemática · Funções e equações exponenciais

Questão 12

Após 28 anos de existência, nota de R$ 100
compra em 2022 o mesmo que R$ 13,91 em 1994
Figura da prova, arquivo q12_fig01.png

Nota de R$ 100 — Foto: Divulgação/BC
Disponível em: https://g1.globo.com/economia/noticia/2022/07/16/apos-28-anos-de-existencia-nota-de-r-100-compra-hoje-o-mesmo-que-r-1391-em-1994.ghtml. Acesso em: 21 abr. 2023.

Suponha que, em 1994, um artigo custasse R$ 13,91 e, exatos 28 anos depois (336 meses), ele passasse a custar R$ 100,00. Suponha, também, que, para esse período, a taxa mensal de aumento no preço desse artigo tenha sido igual a \(k\)%, ou seja, a cada mês o preço do artigo sofreu um aumento de \(k\)% em relação ao preço do mês anterior.

O valor de \(k\) pode ser dado por

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Resposta da banca: A

Resolução comentada

Situar o problema antes de calcular.

Assunto

Matemática financeira — taxa mensal em regime de juros compostos.

Objetivo

Escrever a taxa mensal \(k\), em porcentagem, que leva R$ 13,91 a R$ 100,00 em 336 aumentos sucessivos. O que está em jogo é reconhecer o regime composto, cada mês sobre o preço do mês anterior, e lembrar que \(k\) está em por cento: a expressão tem de multiplicar por 100 e tirar 100.

Conceitos para revisar

Aumento percentual como fator

Aumentar \(k\)% é multiplicar pelo fator \(1 + k/100\). O preço não soma \(k\), ele é multiplicado.

\[P_{\text{novo}} = P_{\text{antigo}} \cdot \left(1 + \dfrac{k}{100}\right)\]
\(P\)preço
\(k\)taxa, em por cento

Juros compostos: fatores que se acumulam

Quando cada aumento incide sobre o preço já aumentado, os fatores se multiplicam, e depois de \(n\) meses o fator aparece elevado a \(n\).

\[M = C \cdot \left(1 + \dfrac{k}{100}\right)^{n}\]
\(M\)valor final
\(C\)valor inicial
\(n\)número de períodos

Desfazer uma potência

Para isolar a base de uma potência com expoente \(n\), eleve os dois lados a \(1/n\), que é a raiz de índice \(n\) escrita como expoente.

\[a^{n} = b \ \Longrightarrow\ a = b^{1/n}\]
\(a\)base procurada
\(b\)valor conhecido
\(n\)expoente

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