Questão 11

A população \(P\) de certa cidade cresce de acordo com a função \(P(t)=56.000\cdot(1{,}01)^{t}\), onde \(t\) significa o tempo, em anos. O gráfico que melhor representa essa função é

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Resposta da banca: B

Resolução comentada

Situar o problema antes de calcular.

Assunto

Função exponencial — o formato do gráfico de uma população que cresce 1% ao ano.

Objetivo

Escolher o gráfico de \(P(t) = 56\,000 \cdot 1{,}01^{t}\). O que está em jogo é reconhecer três traços: começa em 56 000 e não na origem, cresce sempre, e cresce cada vez mais depressa, porque a base é maior que 1.

Conceitos para revisar

Base maior que 1 é crescimento

A cada ano a população é multiplicada por 1,01, ou seja, ganha 1%. Multiplicar por um número maior que 1 sempre aumenta, e a função é crescente em todo o domínio.

\[P(t) = P_{0} \cdot a^{t}, \quad a > 1\]

\(P_{0}\)valor em \(t = 0\), 56 000

\(a\)fator anual, 1,01

Exponencial sobe cada vez mais depressa

O acréscimo de cada ano é 1% do valor daquele ano, e o valor cresce. Então o acréscimo cresce também: a curva é côncava para cima, como uma rampa que fica mais íngreme. Isso a distingue da reta, em que o acréscimo é o mesmo todo ano.

\[\Delta P = 0{,}01 \cdot P(t)\]

\(\Delta P\)acréscimo de um ano, proporcional ao valor atual

O ponto de partida

No instante zero a potência vale 1 e a população é 56 000. O gráfico corta o eixo vertical acima da origem, nunca na origem.

\[P(0) = 56\,000\]

\(P(0)\)onde a curva encosta no eixo P

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