Cesgranrio · Petrobras · Técnico(a) de Operação Júnior · 2014 · questão 15

Cesgranrio Petrobras 2014 Matemática · Funções e equações exponenciais também em Matemática · Funções e equações logarítmicas

Questão 15

Quanto maior for a profundidade de um lago, menor será a luminosidade em seu fundo, pois a luz que incide em sua superfície vai perdendo a intensidade em função da profundidade do mesmo. Considere que, em determinado lago, a intensidade \(y\) da luz a \(x\) cm de profundidade seja dada pela função \(y=i_{0}\cdot(0{,}6)^{\frac{x}{88}}\), onde \(i_{0}\) representa a intensidade da luz na sua superfície. No ponto mais profundo desse lago, a intensidade da luz corresponde a \(\dfrac{i_{0}}{3}\).

A profundidade desse lago, em cm, está entre

Dados
\(\log 2 = 0{,}30\)
\(\log 3 = 0{,}48\)

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Resposta da banca: E

Resolução comentada

Situar o problema antes de calcular.

Assunto

Equação exponencial — resolver com logaritmo decimal e os valores dados.

Objetivo

Achar a profundidade em que a luz cai a um terço, com y igual a i₀ vezes 0,6 elevado a x/88. O que está em jogo é aplicar log dos dois lados, escrever log 0,6 e log 3 com os dados, e isolar x.

Conceitos para revisar

Log dos dois lados

O i₀ simplifica. O expoente desce multiplicando.

\[\dfrac{x}{88}\,\log 0{,}6 = \log \dfrac{1}{3} = -\log 3\]

\(\log 3 = 0{,}48\)

Log de 0,6 pelos dados

0,6 é 6 sobre 10, e 6 é 2 vezes 3.

\[\log 0{,}6 = \log 2 + \log 3 - 1 = 0{,}30 + 0{,}48 - 1 = -0{,}22\]

\(\log 10 = 1\)

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