Questão 16

Sejam \(f(x)=-2x^{2}+4x+16\) e \(g(x)=ax^{2}+bx+c\) funções quadráticas de domínio real, cujos gráficos estão representados acima. A função \(f(x)\) intercepta o eixo das abscissas nos pontos \(P(x_{p},\,0)\) e \(M(x_{M},\,0)\), e \(g(x)\), nos pontos \((1,\,0)\) e \(Q(x_{Q},\,0)\).

Se \(g(x)\) assume valor máximo quando \(x = x_{M}\), conclui-se que \(x_{Q}\) é igual a

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Resposta da banca: B

Resolução comentada

Situar o problema antes de calcular.

Assunto

Função quadrática — raízes de uma parábola e simetria da outra em torno do vértice.

Objetivo

Achar a segunda raiz de g, sabendo que o vértice de g está na raiz maior de f e que 1 é a outra raiz de g. O que está em jogo é achar a raiz de f, e usar que as raízes de g são simétricas em torno do vértice.

Conceitos para revisar

As raízes de f

Divida por −2 e fatore.

\[x^{2} - 2x - 8 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = -2 \ \text{ou}\ x = 4\]

\(P = (-2, 0)\)

\(M = (4, 0)\)

Simetria em torno do vértice

As raízes de uma parábola ficam à mesma distância do x do vértice. Se o vértice de g está em 4 e uma raiz é 1, a outra está 3 unidades do outro lado.

\[x_{Q} = 2 \cdot 4 - 1 = 7\]

\(x_{v} = \dfrac{x_{1} + x_{Q}}{2}\)

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