Questão 32

Um estudo em laboratório revelou que a altura média de determinada espécie de planta é dada, a partir de um ano de idade, pela função \(h(x)=\log\!\left(10^{1{,}35}\cdot\sqrt[4]{2x}\right)\), onde \(h(x)\) representa a altura média, em m, e \(x\), a idade, em anos.

Qual é, em m, a altura média de uma planta dessa espécie aos cinco anos de idade?

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Resposta da banca: B

Resolução comentada

Situar o problema antes de calcular.

Assunto

Logaritmo — propriedades do produto e da potência para calcular sem tabela.

Objetivo

Achar a altura da planta aos 5 anos pela função \(h(x) = \log\left(10^{1{,}35} \cdot \sqrt[4]{2x}\right)\). O que está em jogo é ver que, com \(x = 5\), o \(2x\) vira 10, e que o log de um produto de potências de 10 é a soma dos expoentes.

Conceitos para revisar

Substituir antes de abrir

Com \(x\) igual a 5, dentro da raiz fica 2 vezes 5, que é 10. A raiz quarta de 10 é 10 elevado a um quarto. A banca escolheu o 5 para isso.

\[\sqrt[4]{2 \cdot 5} = \sqrt[4]{10} = 10^{1/4}\]

\(10^{1/4}\)raiz quarta como potência de expoente fracionário

Log do produto é soma dos logs

O logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos dos fatores. Os dois fatores são potências de 10, e o log decimal de uma potência de 10 é o expoente.

\[\log\left(10^{a} \cdot 10^{b}\right) = a + b\]

\(a\)1,35

\(b\)\(1/4 = 0{,}25\)

Log decimal de potência de 10

O log decimal de uma potência de 10 é o expoente, porque o log decimal pergunta a que expoente elevar o 10. É o que dispensa a calculadora.

\[\log 10^{n} = n\]

\(n\)qualquer expoente, inteiro ou fração

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