Cesgranrio Transpetro 2006 Matemática · Princípio fundamental da contagem também em Matemática · Arranjo

Questão 39

Uma bomba integra um conjunto que manobra o escoamento de produtos entre 16 tanques nivelados, dentre os quais 3 podem somente ser esvaziados, 5 podem somente ser enchidos e os demais podem ser esvaziados e/ou enchidos. O número de possibilidades de manobra entre dois tanques distintos é de:

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Resposta da banca: B

Resolução comentada

Situar o problema antes de calcular.

Assunto

Análise combinatória — princípio multiplicativo com uma restrição de exclusão.

Objetivo

Contar as manobras possíveis entre dois tanques distintos, uma origem que esvazia e um destino que enche. O que está em jogo é perceber que os 8 tanques que fazem as duas coisas entram nas duas contagens, e que o par em que origem e destino são o mesmo tanque precisa sair.

Conceitos para revisar

Princípio multiplicativo

Uma escolha em duas etapas independentes tem tantos resultados quanto o produto do número de opções de cada etapa. Aqui a etapa 1 é escolher quem esvazia, a etapa 2 é escolher quem enche.

\[N = n_{1} \cdot n_{2}\]

\(N\)total de pares (origem, destino)

\(n_{1}\)tanques que podem ser origem

\(n_{2}\)tanques que podem ser destino

Quem pode ser origem e quem pode ser destino

Origem é todo tanque que pode ser esvaziado: os 3 que só esvaziam mais os 8 que fazem as duas coisas. Destino é todo tanque que pode ser enchido: os 5 que só enchem mais os mesmos 8. Os 8 são contados nos dois lados, e isso não é erro.

\[n_{1} = 3 + 8 = 11 \qquad n_{2} = 5 + 8 = 13\]

\(3\)só esvaziam

\(5\)só enchem

\(8\)esvaziam e enchem, \(16 - 3 - 5\)

Excluir o par proibido

O produto conta também os pares em que o mesmo tanque é origem e destino. Isso só acontece com os 8 que fazem as duas coisas, e o enunciado pede tanques distintos: esses 8 pares saem.

\[N_{\text{distintos}} = n_{1} \cdot n_{2} - 8\]

\(8\)pares (tanque, mesmo tanque), um por tanque misto

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