Cesgranrio Petrobras 2005 Matemática · Relações métricas e semelhança

Questão 16

Na figura acima, os triângulos ASD, ARB, CQB e DPC são congruentes. Os pontos P, Q, R e S são pontos médios dos segmentos DS, PC, QB e RA, respectivamente. Se PQRS é um quadrado cujos lados medem 2cm, a medida do segmento AB, em cm, é igual a:

Ver o gabarito oficial

Resposta da banca: B

Resolução comentada

Situar o problema antes de calcular.

Assunto

Geometria plana — ponto médio e teorema de Pitágoras num triângulo retângulo escondido na figura.

Objetivo

Achar o lado AB do quadrilátero grande a partir do quadrado interno de lado 2. O que está em jogo é enxergar o triângulo retângulo ARB, cujo ângulo reto é o canto R do quadrado PQRS, e medir seus dois catetos pelos pontos médios.

Conceitos para revisar

Ponto médio divide ao meio

Se S é ponto médio de RA, então AS e SR têm a mesma medida. Como SR é lado do quadrado, AS também mede 2, e RA mede 4. O mesmo vale para R em QB.

\[RA = 2 \cdot SR \qquad RB = QR\]

\(SR\), \(QR\)lados do quadrado, 2 cm

\(RA\)segmento inteiro de A até R

\(RB\)metade de QB

O ângulo reto vem do quadrado

Em PQRS os lados vizinhos são perpendiculares. RS e RQ se encontram em R formando 90°, e os segmentos RA e RB seguem essas duas direções. Logo, ARB é retângulo em R.

\[\angle ARB = 90^{\circ}\]

\(R\)vértice do quadrado por onde passam RA e QB

Teorema de Pitágoras

No triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos.

\[AB^{2} = AR^{2} + RB^{2}\]

\(AB\)hipotenusa, o lado pedido

\(AR\), \(RB\)os catetos

Organizar, Resolver e Acelerar são para quem entrou. Entre com a sua conta Google e veja as quatro etapas de todas as questões.

Entrar

Faça o simulado da sua ênfase: 20 questões, e você sabe a sua distância até os dois cortes do edital