Questão 18

Uma fita retangular de 2 cm de largura foi colocada em torno de uma pequena lata cilíndrica de 12 cm de altura e \(192\,\pi\) cm\(^{3}\) de volume, dando uma volta completa em torno da lata, como ilustra o modelo abaixo.

A área da região da superfície da lata ocupada pela fita é, em cm\(^{2}\), igual a

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Resposta da banca: C

Resolução comentada

Situar o problema antes de calcular.

Assunto

Geometria espacial — o raio pelo volume, e a faixa da fita como área lateral de altura 2.

Objetivo

Achar a área da lata coberta por uma fita de 2 cm que dá uma volta completa, numa lata de 12 cm de altura e 192π cm³. O que está em jogo é tirar o raio do volume e ver que a fita cobre um retângulo de base igual à circunferência e altura 2.

Conceitos para revisar

Raio pelo volume

Volume do cilindro é área da base vezes altura.

\[\pi r^{2} \cdot 12 = 192\pi \quad\Rightarrow\quad r^{2} = 16,\ r = 4\]

\(r\)raio da lata

A fita é uma faixa lateral

Desenrolada, é um retângulo: comprimento igual à circunferência, altura igual à largura da fita.

\[A = 2\pi r \cdot 2 = 16\pi\]

\(2\pi r = 8\pi\)uma volta

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