Cesgranrio Petrobras 2005 Matemática · Combinação

Questão 17

Um restaurante oferece cinco ingredientes para que o cliente escolha no mínimo 2 e no máximo 4 para serem acrescentados à salada verde. Seguindo esse critério, de quantos modos um cliente pode escolher os ingredientes que serão acrescentados em sua salada?

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Resposta da banca: A

Resolução comentada

Situar o problema antes de calcular.

Assunto

Análise combinatória — combinações simples somadas para uma faixa de tamanhos.

Objetivo

Contar de quantas formas se escolhem 2, 3 ou 4 ingredientes entre 5. O que está em jogo é reconhecer combinação, porque a ordem dos ingredientes na salada não importa, e somar os três casos em vez de multiplicá-los.

Conceitos para revisar

Combinação: a ordem não importa

Escolher tomate e cebola é a mesma salada que cebola e tomate. Quando a ordem não distingue os resultados, a contagem é por combinação, e não por arranjo.

\[C_{n,k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\]

\(n\)quantos há para escolher, 5

\(k\)quantos se escolhem

Casos alternativos se somam

O cliente escolhe 2, ou 3, ou 4 ingredientes. São situações que não acontecem juntas, então o total é a soma das três contagens.

\[N = C_{5,2} + C_{5,3} + C_{5,4}\]

\(C_{5,2}\)saladas com 2 ingredientes

\(C_{5,3}\)com 3

\(C_{5,4}\)com 4

Combinações complementares

Escolher 3 de 5 é o mesmo que escolher os 2 que ficam de fora. Por isso \(C_{5,3}\) e \(C_{5,2}\) são iguais, e \(C_{5,4}\) é o mesmo que escolher 1 para deixar de fora.

\[C_{n,k} = C_{n,\,n-k}\]

\(n - k\)os que ficam de fora

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