Cesgranrio · Transpetro · Técnico(a) de Operação Júnior · 2011 · questão 17

Cesgranrio Transpetro 2011 Matemática · Módulo e representação no plano de Argand-Gauss também em Matemática · Funções e equações polinomiais (2º grau)

Questão 17

As raízes da equação \(2x^{2} - 4x + 15 = 0\) são números complexos que, representados no Plano de Argand-Gauss, localizam-se nos quadrantes

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Resposta da banca: C

Resolução comentada

Situar o problema antes de calcular.

Assunto

Números complexos — quadrantes das raízes de uma equação do 2º grau com discriminante negativo.

Objetivo

Dizer em que quadrantes ficam as raízes de 2x² − 4x + 15 = 0. O que está em jogo é ver que as raízes são conjugadas, com a mesma parte real e partes imaginárias opostas, e que o sinal da parte real decide entre 1º e 4º ou 2º e 3º.

Conceitos para revisar

Discriminante negativo, raízes conjugadas

Com Δ negativo, as raízes são a mais ou menos bi. A parte real é a mesma e a imaginária troca de sinal.

\[x = \dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\]

\(\Delta = b^{2} - 4ac\)

Quadrante pelo sinal da parte real

Conjugadas ficam uma acima e outra abaixo do eixo real, no mesmo lado. Parte real positiva: 1º e 4º. Negativa: 2º e 3º.

\[\text{Re}(x) = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{4}{4} = 1 > 0\]

\(-b = 4\)

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