Questão 19

Considere as funções \(g(x)=\log_{2}x\) e \(h(x)=\log_{b}x\), ambas de domínio \(\mathbb{R}^{*}_{+}\).

Se \(h(5)=\dfrac{1}{2}\), então \(g(b + 9)\) é um número real compreendido entre

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Resposta da banca: A

Resolução comentada

Situar o problema antes de calcular.

Assunto

Logaritmo — achar a base pela definição e enquadrar um log na base 2.

Objetivo

Achar entre que inteiros está g(b + 9), com g o log na base 2 e b a base em que log de 5 vale 1/2. O que está em jogo é ler b elevado a 1/2 igual a 5, o que dá b igual a 25, e enquadrar log₂ 34 entre 5 e 6.

Conceitos para revisar

Definição de logaritmo

Log de 5 na base b igual a 1/2 quer dizer que b elevado a 1/2 é 5. Raiz quadrada de b é 5, então b é 25.

\[b^{1/2} = 5 \quad\Rightarrow\quad b = 25\]

e não \(b = \sqrt{5}\)

Enquadrar na base 2

b + 9 é 34. Entre 32, que é 2 elevado a 5, e 64, que é 2 elevado a 6.

\[2^{5} < 34 < 2^{6} \quad\Rightarrow\quad 5 < \log_{2} 34 < 6\]

\(g(34)\) entre 5 e 6

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