Cesgranrio · Transpetro · Técnico(a) de Operação Júnior · 2008 · questão 17

Cesgranrio Transpetro 2008 Matemática · Funções e equações logarítmicas também em Matemática · Funções e equações exponenciais

Questão 17

No Brasil, um motorista não pode dirigir se o nível de álcool no seu sangue for superior a 0,2 g por litro. Considere que o nível \(N\) de álcool por litro de sangue de um homem adulto, em gramas, decresça de acordo com a função \(N(t)=N_{0}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{t}\), onde \(t\) representa o tempo, em horas, e \(N_{0}\) representa o nível inicial de álcool por litro de sangue. Certo homem, adulto, ingeriu grande quantidade de bebida alcoólica e o nível de álcool em seu sangue chegou a 2 g por litro (\(N_{0}=2\)). Quanto tempo ele terá que esperar para poder dirigir? (Use \(\log 2 = 0{,}3\)).

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Resposta da banca: A

Resolução comentada

Situar o problema antes de calcular.

Assunto

Equação exponencial resolvida por logaritmo — decaimento pela metade e o tempo até um limite.

Objetivo

Achar quanto tempo o nível de álcool leva para cair de 2 g/L até 0,2 g/L, caindo pela metade a cada hora. O que está em jogo é chegar a \(2^{t} = 10\), usar o \(\log 2 = 0{,}3\) dado, e converter a fração de hora em minutos.

Conceitos para revisar

Decaimento pela metade

A cada hora o nível é multiplicado por meio. Depois de \(t\) horas, é o inicial vezes meio elevado a \(t\). O limite para dirigir é 0,2.

\[N(t) = N_{0} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{t}\]

\(N_{0}\)nível inicial, 2 g/L

\(t\)horas de espera

\(N(t)\)nível depois de \(t\) horas

A equação a resolver

Igualar o nível ao limite e dividir por 2 dá meio elevado a \(t\) igual a um décimo, o mesmo que 2 elevado a \(t\) igual a 10.

\[2 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{t} = 0{,}2 \quad\Longrightarrow\quad 2^{t} = 10\]

\(0{,}2\)limite legal, em g/L

Logaritmo para tirar o expoente

Aplicar log nos dois lados desce o \(t\). O log de 10 é 1, e o enunciado dá o log de 2 como 0,3, então o tempo é 1 dividido por 0,3. A fração de hora vira minutos multiplicando por 60.

\[t = \dfrac{\log 10}{\log 2} = \dfrac{1}{0{,}3}\]

\(\log 10 = 1\)logaritmo decimal

\(\log 2 = 0{,}3\)valor dado

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