Questão 13

Em uma fábrica de bijuterias são produzidos colares enfeitados com cinco contas de mesmo tamanho dispostas lado a lado, como mostra a figura.

As contas estão disponíveis em 8 cores diferentes. De quantos modos distintos é possível escolher as cinco contas para compor um colar, se a primeira e a última contas devem ser da mesma cor, a segunda e a penúltima contas devem ser da mesma cor e duas contas consecutivas devem ser de cores diferentes?

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Resposta da banca: B

Resolução comentada

Situar o problema antes de calcular.

Assunto

Análise combinatória — princípio multiplicativo com posições amarradas e vizinhos diferentes.

Objetivo

Contar os colares de cinco contas em 8 cores em que a primeira e a última têm a mesma cor, a segunda e a quarta também, e vizinhas são diferentes. O que está em jogo é ver que só três cores são escolhidas de fato, e que a do meio só precisa diferir da segunda, não da primeira.

Conceitos para revisar

Posições amarradas contam uma vez

Se a quinta conta é da cor da primeira e a quarta é da cor da segunda, escolher as três primeiras já decide o colar inteiro. São três escolhas, não cinco.

\[N = n_{1} \cdot n_{2} \cdot n_{3}\]

\(n_{1}\)cores para a primeira conta, e a quinta

\(n_{2}\)cores para a segunda, e a quarta

\(n_{3}\)cores para a do meio

Vizinhas diferentes: quem é vizinho de quem

A segunda é vizinha da primeira e da terceira. A terceira é vizinha da segunda e da quarta, que tem a cor da segunda. A terceira não é vizinha da primeira: pode ter a cor dela.

\[c_{2} \neq c_{1} \qquad c_{3} \neq c_{2}\]

\(c_{1}\), \(c_{2}\), \(c_{3}\)cores das três primeiras contas

Contar as opções

A primeira cor é livre: 8. A segunda evita a primeira: 7. A terceira evita só a segunda: 7 de novo, porque pode repetir a primeira.

\[N = 8 \cdot 7 \cdot 7\]

\(8\)qualquer cor

\(7\)qualquer, menos a da vizinha

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