Cesgranrio · Petrobras · Técnico(a) de Operação Júnior · 2010 · questão 43

Cesgranrio Petrobras 2010 Matemática · Combinação também em Matemática · Princípio fundamental da contagem

Questão 43

Um treinador de futebol dispõe de 3 goleiros, 5 atacantes, 6 jogadores de meio de campo e 4 zagueiros para compor um time de 11 jogadores. Se o time será composto por 1 goleiro, 3 atacantes, 5 jogadores de meio de campo e 2 zagueiros, de quantos modos diferentes esse time poderá ser montado?

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Resposta da banca: E

Resolução comentada

Situar o problema antes de calcular.

Assunto

Combinatória — escolhas independentes por posição, multiplicadas.

Objetivo

Contar de quantos modos se monta um time com 1 goleiro entre 3, 3 atacantes entre 5, 5 meios entre 6 e 2 zagueiros entre 4. O que está em jogo é usar combinação em cada grupo, porque a ordem não importa, e multiplicar os quatro resultados.

Conceitos para revisar

Combinação: escolher sem ordem

Escolher 3 atacantes entre 5 não tem ordem, então é combinação, e não arranjo.

\[C_{n,k} = \dfrac{n!}{k!\,(n - k)!}\]

\(n\)disponíveis

\(k\)escolhidos

Princípio multiplicativo

Cada grupo se escolhe de forma independente. O total é o produto das quatro contagens, e nunca a soma.

\[N = C_{3,1} \cdot C_{5,3} \cdot C_{6,5} \cdot C_{4,2}\]

goleiro, atacantes, meios, zagueiros

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