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Cesgranrio · Transpetro · Profissional de Nível Médio Júnior, ênfase Dutos e Terminais · 2023 · questão 15

Cesgranrio Transpetro 2023 Matemática · Medidas de dispersão

Questão 15

Em uma escola, há cinco turmas que fizeram uma prova de matemática, e cada uma possui 60 estudantes. As notas obtidas em cada turma tiveram as seguintes distribuições:

  • Turma 1: 30 notas iguais a 0 e 30 notas iguais a 10;
  • Turma 2: 30 notas iguais a 2 e 30 notas iguais a 8;
  • Turma 3: 30 notas iguais a 3 e 30 notas iguais a 7;
  • Turma 4: 30 notas iguais a 4 e 30 notas iguais a 6;
  • Turma 5: 60 notas iguais a 5.

Em qual das turmas o desvio-padrão das notas obtidas foi igual a zero?

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Resposta da banca: E

Resolução comentada

Situar o problema antes de calcular.

Assunto

Estatística — desvio-padrão como medida de dispersão.

Objetivo

Apontar a turma cujo desvio-padrão é zero. O que está em jogo é o significado da medida: desvio-padrão zero quer dizer nenhum afastamento da média, ou seja, todas as notas iguais, e não uma turma de notas "próximas".

Conceitos para revisar

Média

As cinco turmas foram montadas para ter a mesma média, 5. A média sozinha não distingue nenhuma delas.

\[\bar{x} = \dfrac{\sum f_i\,x_i}{n}\]
\(\bar{x}\)média
\(x_i\)cada nota
\(f_i\)quantas vezes a nota aparece
\(n\)total de estudantes

Desvio-padrão

Raiz da média dos quadrados dos afastamentos em relação à média. Cada parcela é um quadrado, portanto nunca negativa: a soma só dá zero se todas as parcelas forem zero.

\[\sigma = \sqrt{\dfrac{\sum f_i\,(x_i - \bar{x})^{2}}{n}}\]
\(\sigma\)desvio-padrão
\(x_i - \bar{x}\)afastamento de cada nota

Dispersão zero

Afastamento zero em todas as notas significa que cada nota é igual à média. Turma sem dispersão é turma em que todo mundo tirou a mesma nota.

\[\sigma = 0 \ \Longleftrightarrow\ x_i = \bar{x}\ \text{para todo } i\]
\(x_i\)cada nota da turma

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