Cesgranrio · Transpetro · Profissional de Nível Médio Júnior, ênfase Manutenção – Elétrica · 2023 · questão 51

Cesgranrio Transpetro 2023 Manutenção elétrica · Modelagem, realimentação e controle em malha fechada

Questão 51

Um circuito elétrico é composto por uma fonte de tensão \(v_F(t)\) que alimenta três componentes considerados ideais: um resistor de resistência R, um capacitor de capacitância C e um indutor de indutância L, todos associados em série.

Fechando o circuito da fonte sobre esses três componentes ligados em série, uma corrente i(t) vai circular. A dinâmica desse sistema é regida por uma equação diferencial, obtida pela lei de Kirchoff, que relaciona a soma das tensões nesta malha: \(v_F(t) = v_R(t) + v_C(t) + v_L(t)\).

As relações entre as tensões e a corrente da malha são:

RESISTOR \(v_R(t) = R\,i(t)\) INDUTOR \(v_L(t) = L\,\dfrac{di}{dt}\) CAPACITOR \(v_C(t) = \dfrac{1}{C}\displaystyle\int i(t)\,dt\)

Com base nos dados, considerando-se todas as condições iniciais nulas, qual é a expressão da Função de Transferência, no domínio de Laplace, que liga a corrente elétrica de saída com a tensão da fonte de alimentação, ou seja, a expressão de \(G(s) = \dfrac{I(s)}{V_F(s)}\)?

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Resposta da banca: A

Resolução comentada

Situar o problema antes de calcular.

Assunto

Controle — função de transferência de um circuito RLC série, da tensão da fonte para a corrente.

Objetivo

Escrever \(G(s) = I(s)/V_{F}(s)\) do RLC série. O que está em jogo é passar cada componente para Laplace, somar as três tensões, isolar a corrente e arrumar a fração até o denominador ficar mônico, com o \(s\) do capacitor multiplicando o numerador.

Conceitos para revisar

Componentes em Laplace

Com condições iniciais nulas, derivar vira multiplicar por \(s\) e integrar vira dividir por \(s\): o resistor fica \(R\), o indutor \(Ls\) e o capacitor \(1/(Cs)\).

\[V_{R} = R\,I, \qquad V_{L} = Ls\,I, \qquad V_{C} = \dfrac{I}{Cs}\]

\(I\)corrente transformada, \(I(s)\)

\(s\)variável de Laplace

Impedância da série

A tensão da fonte é a soma das três; a razão tensão sobre corrente é a impedância total, e a função de transferência pedida é o inverso dela.

\[\dfrac{V_{F}}{I} = R + Ls + \dfrac{1}{Cs}\]

\(G(s)\) é o inverso disto

Forma mônica

Multiplicar em cima e embaixo por \(s\) tira a fração do capacitor, e dividir tudo por \(L\) deixa o \(s^{2}\) com coeficiente 1, que é como as alternativas estão escritas.

\[G(s) = \dfrac{\frac{1}{L}\,s}{s^{2} + \frac{R}{L}\,s + \frac{1}{LC}}\]

numerador com \(s\)em corrente contínua o capacitor bloqueia, \(G(0) = 0\)

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