Cesgranrio Petrobras 2014 Física · Conservação da energia mecânica também em Física · Energia potencial elástica
Questão 42
Em um brinquedo de parque de diversões, uma bola de 500 g deve ser arremessada verticalmente para cima, atingir uma mola após percorrer 1,80 m, e comprimi-la 20,0 cm de modo a acender a Lâmpada da Vitória, como mostra a Figura abaixo.
Considerando os atritos desprezíveis e a mola ideal, qual deve ser, aproximadamente, em m/s, a velocidade inicial mínima da bola para que a Lâmpada da Vitória seja acesa?
- Dados
- aceleração da gravidade \(=10\) m\(\cdot\)s\(^{-2}\)
- Constante elástica da mola \(=750\) N/m
Resolução comentada
Situar o problema antes de calcular.
Assunto
Trabalho e energia — conservação da energia mecânica com energia potencial elástica de mola.
Objetivo
Conceitos para revisar
Energia mecânica se conserva
Sem atrito e com mola ideal, a soma é a mesma em qualquer instante. Nada se perde no caminho: a energia só troca de forma, de cinética para gravitacional e elástica.
Energia potencial elástica
A metade existe porque a força elástica cresce de zero até \(kx\): vale a força média, e não a força final.
Energia potencial gravitacional
A bola não para ao encostar na mola: ela continua subindo enquanto comprime, e a altura vai até lá.
O que significa velocidade mínima
É a velocidade que faz a bola chegar à compressão de 20,0 cm com velocidade nula — o suficiente e nada mais. Qualquer sobra de velocidade comprimiria a mola além disso.
Preparar o terreno antes de calcular.
Esquema
A figura da prova cota os dois trechos separados; o esquema junta os \(2{,}00\) m de subida total e marca onde a bola para, que é o que entra no balanço de energia.
A figura da prova
Vista de frente, com o chão como uma linha horizontal embaixo e o teto como outra linha em cima. No chão, uma bola. Presa ao teto, uma mola helicoidal pendurada, com uma seta apontando para ela e o rótulo contato da Lâmpada da Vitória. Duas cotas verticais tracejadas marcam as distâncias: 1,80 m da bola até a extremidade livre da mola e 20,0 cm dessa extremidade até o teto, que é o curso de compressão.
Dados
| Grandeza | Valor |
|---|---|
| Massa da bola \(m\) | \(500\) g |
| Subida até a mola relaxada | \(1{,}80\) m |
| Compressão da mola \(x\) | \(20{,}0\) cm |
| Constante elástica \(k\) | \(750\) N/m |
| Gravidade \(g\) | \(10\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}\) |
| Atrito desprezível, mola ideal | autoriza conservar a energia mecânica |
| Velocidade inicial mínima \(v_0\) | incógnita |
Conversões
Duas, e as duas são obrigatórias: \(500\) g \(= 0{,}500\) kg e \(20{,}0\) cm \(= 0{,}200\) m. Como \(k\) está em N/m, a deformação tem de entrar em metros.
Estratégia
- Fixar os dois estados: bola no chão com \(v_0\), e bola parada na compressão máxima.
- Igualar a energia mecânica dos dois estados — no início só há cinética; no fim, só gravitacional e elástica.
- Somar a compressão à subida antes de calcular a parcela gravitacional.
- Substituir os números e isolar \(v_0\).
Agora sim, calcular.
Passos lógicos
A resolução tem 5 passos. Revele um de cada vez e, antes de abrir cada um, tente prever a linha de raciocínio.
Condição de mínimo
A menor velocidade possível é a que faz a bola chegar à compressão máxima e parar exatamente ali. Sobrando velocidade, a mola comprimiria mais que 20,0 cm.
Conservar a energia mecânica
Sem atrito e com mola ideal, o total é o mesmo nos dois estados: a energia cinética do lançamento se transforma em energia potencial gravitacional mais energia potencial elástica.
Decidir a altura que entra em mgh
A bola continua subindo enquanto comprime a mola, então a subida vai do chão até a compressão máxima.
Substituir os números
Com \(m = 0{,}500\) kg e \(x = 0{,}200\) m, cada parcela do lado direito vira um número em joules.
Isolar a velocidade
O lado direito soma \(10\ \text{J} + 15\ \text{J} = 25\ \text{J}\). Dividindo por \(0{,}250\) e tirando a raiz:
Resposta
Acelerar, conferir e escapar da armadilha.
Como resolver rápido
Não vi caminho mais curto do que a própria conservação de energia: são duas parcelas e uma raiz. Fica aqui a resolução mínima. Se você achou uma forma mais direta e fisicamente coerente, compartilhe com a turma.
Avaliar a coerência
1Piso: só a subida já custa mais que isso
Esquecendo a mola, subir \(2{,}00\) m exige \(v = \sqrt{2gH} = \sqrt{40} \approx 6{,}3\) m/s, uma raiz só. Com a mola no caminho, a resposta é maior. Cai (A) 4,50.
2Teto: a energia envolvida é pequena
O brinquedo pede \(10\) J de subida mais \(15\) J de mola, \(25\) J no total. Uma bola de meio quilo a \(25\) m/s carrega \(156\) J, seis vezes demais; a \(15\) m/s, \(56\) J. (D) e (E) estão fora de faixa.
Cuidado com a pegadinha
A metade da energia elástica — e a alternativa (C)
Quem escreve a energia da mola como \(k x^{2}\), sem a metade, soma 30 J em vez de 15 J, chega a 12,6 m/s e encontra (C) pronta na lista: escorregão de quem sabe a matéria.
Quem escreve a energia da mola como \(k x^{2}\), sem a metade, soma \(30\) J em vez de \(15\) J, chega a \(v_0 = \sqrt{160} \approx 12{,}6\) m/s e encontra a alternativa (C) pronta na lista. É escorregão de quem sabe a matéria: \(F = kx\) e \(E_{pel} = \dfrac{k x^{2}}{2}\) moram lado a lado no caderno, e sob pressão a metade some.
AntídotoGuarde de onde vem a metade: a força da mola cresce de \(0\) até \(kx\), então quem trabalha é a força média, \(kx/2\). No gráfico \(F \times x\), a energia é a área de um triângulo — e triângulo tem metade da área do retângulo.
O outro deslize é medir a subida só até a entrada da mola, \(1{,}80\) m: dá \(9{,}8\) m/s e, com o aproximadamente do enunciado, ainda leva a (B). Acertar por sorte hoje é errar amanhã — a bola sobe enquanto comprime, e a altura vai até \(2{,}00\) m.