Cesgranrio · Petrobras · Técnico(a) de Operação Júnior · 2017 · questão 17

Cesgranrio Petrobras 2017 Matemática · Áreas e volumes

Questão 17

A Figura a seguir mostra um cilindro reto, um cone reto e uma esfera que tangencia a base do cilindro e as geratrizes do cilindro e do cone. O cone e o cilindro têm como base um círculo de raio 7 cm e a mesma altura que mede 24 cm.

Qual o volume, em centímetros cúbicos, da região interior ao cilindro e exterior à esfera e ao cone?

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Resposta da banca: C

Resolução comentada

Situar o problema antes de calcular.

Assunto

Geometria espacial — volume por diferença, com o raio da esfera achado pela tangência no corte.

Objetivo

Achar o volume que fica dentro do cilindro e fora do cone e da esfera. O que está em jogo é ver que o cone tem um terço do cilindro, e achar o raio da esfera pela distância do centro à geratriz do cone, no triângulo do corte.

Conceitos para revisar

Cilindro e cone

Mesma base, raio 7, e mesma altura, 24. O cone é um terço do cilindro.

\[V_{cil} = \pi \cdot 49 \cdot 24 = 1176\pi \qquad V_{cone} = 392\pi\]

em cm³

O raio da esfera pelo corte

No corte pelo eixo, a esfera é um círculo de raio ρ encostado no fundo e na parede do cilindro, com centro a ρ da parede e a ρ do fundo. A geratriz do cone sai do vértice, no centro da base, e a distância do centro do círculo a ela também é ρ.

\[\dfrac{|24(7 - \rho) - 7\rho|}{25} = \rho \quad\Rightarrow\quad 168 = 56\rho \quad\Rightarrow\quad \rho = 3\]

reta da geratriz\(24x - 7y = 0\)

\(25 = \sqrt{24^{2} + 7^{2}}\)

Volume pedido

Cilindro menos cone menos esfera.

\[V = 1176\pi - 392\pi - \dfrac{4}{3}\pi \cdot 27 = 748\pi\]

esfera\(36\pi\)

Preparar o terreno antes de calcular.

A figura da prova

Um cilindro em pé. Dentro dele, um cone invertido, com a base coincidindo com a tampa do cilindro e o vértice no centro do fundo. No canto inferior esquerdo, entre a parede do cilindro, o fundo e a geratriz do cone, uma esfera pequena encostada nos três.

Dados

Grandeza	Valor
Raio da base	7 cm
Altura	24 cm, cilindro e cone
Esfera	tangente à base e às geratrizes do cilindro e do cone
Pergunta	volume dentro do cilindro, fora do cone e da esfera

Conversões

Nenhuma: centímetros.

Estratégia

Calcule cilindro e cone.
Ache o raio da esfera pelo corte: distância do centro à geratriz.
Subtraia cone e esfera do cilindro.

Agora sim, calcular.

Passos lógicos

A resolução tem 4 passos. Revele um de cada vez e, antes de abrir cada um, tente prever a linha de raciocínio.

Cilindro e cone

Cone é um terço.

\[V_{cil} = 1176\pi \qquad V_{cone} = 392\pi\]

Raio da esfera

Centro em (7 − ρ, ρ), a ρ da reta 24x − 7y = 0.

\[168 - 31\rho = 25\rho \quad\Rightarrow\quad \rho = 3\]

Esfera

Volume.

\[V_{esf} = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi\]

Responder

Diferença.

\[V = 1176\pi - 392\pi - 36\pi = 748\pi\]

Resposta

\[V = 748\pi\ \text{cm}^{3}\]

Alternativa C

Acelerar, conferir e escapar da armadilha.

Como resolver rápido

\[V = \dfrac{2}{3}V_{cil} - \dfrac{4}{3}\pi\rho^{3}\]

A diferença é a conta. O atalho está no raio: o triângulo 7, 24, 25 é pitagórico, e a esfera é a inscrita no triângulo de catetos 7 e 24 rebatido, com raio (7 + 24 − 25)/2 = 3.

1Raio da esfera pelo triângulo 7-24-25

No corte, o círculo é o inscrito no triângulo retângulo de catetos 7 e 24: \(r = (7 + 24 - 25)/2 = 3\). Atalho mental, se você conhece a fórmula do inraio.

Avaliar a coerência

1Teto: cilindro menos cone é 784π, e ainda sai a esfera

Atalho mental. Elimina (A) e (B).

2A esfera é pequena, raio 3, e tira só 36π

\(784\pi - 36\pi = 748\pi\). Elimina (D) e (E), que tirariam 100π e 136π. Confirma (C).

Cuidado com a pegadinha

Esquecer a esfera

Quem faz cilindro menos cone, chega a 784π e marca (B).

A banca pôs 784π na lista. A esfera é pequena e fica no canto da figura, mas a pergunta a exclui também.

AntídotoReleia o que se exclui: cone e esfera. A esfera exige o corte e o raio.