Questão 50

Dada a função f(x) \(= \log_{10} x\), de domínio \(\mathbb{R}^{*}_{+}\), têm-se f(2) \(= 0{,}30\) e f(3) \(= 0{,}48\). Se f(p) \(= 1{,}38\), então \(p\) é igual a

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Resposta da banca: C

Resolução comentada

Situar o problema antes de calcular.

Assunto

Logaritmo — decompor um valor de log nos logs de 2 e de 3 dados.

Objetivo

Achar \(p\) tal que \(\log p = 1{,}38\), com \(\log 2 = 0{,}30\) e \(\log 3 = 0{,}48\). O que está em jogo é escrever 1,38 como soma desses logs e de \(\log 10 = 1\), e transformar a soma em produto.

Conceitos para revisar

Log do produto é soma dos logs

Se 1,38 se escreve como soma de logs conhecidos, \(p\) é o produto dos números correspondentes.

\[\log(a \cdot b) = \log a + \log b\]

\(a\), \(b\)fatores de \(p\)

Montar 1,38 com 0,30, 0,48 e 1

Três vezes 0,30 mais 0,48 dá 1,38. Ou 1 mais 0,38, e 0,38 não sai de 0,30 e 0,48; mas 0,90 mais 0,48 sai. Então \(p\) é \(2^{3} \cdot 3\).

\[1{,}38 = 3 \cdot 0{,}30 + 0{,}48 = \log 8 + \log 3\]

\(3 \cdot 0{,}30 = \log 2^{3} = \log 8\)

\(0{,}48 = \log 3\)

Testar as alternativas é o mesmo caminho ao contrário

Fatore cada alternativa em 2, 3 e 5 e some os logs. Só uma dá 1,38.

\[\log 24 = \log(8 \cdot 3)\]

\(24 = 2^{3} \cdot 3\)

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