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Cesgranrio · Petrobras · Técnico(a) de Operação Júnior · 2017 · questão 13

Cesgranrio Petrobras 2017 Matemática · Funções e equações exponenciais também em Matemática · Funções e equações polinomiais (2º grau)

Questão 13

Quantos valores reais de \(x\) fazem com que a expressão \((x^{2}-5x+5)^{x^{2}+4x-60}\) assuma valor numérico igual a 1?

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Resposta da banca: D

Resolução comentada

Situar o problema antes de calcular.

Assunto

Potência igual a 1 — três caminhos: expoente zero, base 1, base −1 com expoente par.

Objetivo

Contar os x reais que fazem (x² − 5x + 5) elevado a (x² + 4x − 60) valer 1. O que está em jogo é lembrar os três casos e conferir cada um, inclusive a paridade do expoente no caso da base −1.

Conceitos para revisar

Expoente zero, base não nula

x² + 4x − 60 zera em 6 e −10. A base vale 11 e 155, diferentes de zero.

\[x = 6 \ \text{ou}\ x = -10\]
2 valores

Base 1

x² − 5x + 5 igual a 1 dá x² − 5x + 4 zero: 1 e 4. Qualquer expoente serve.

\[x = 1 \ \text{ou}\ x = 4\]
2 valores

Base −1 com expoente par

x² − 5x + 5 igual a −1 dá x² − 5x + 6 zero: 2 e 3. O expoente em 2 vale −48, par; em 3 vale −39, ímpar. Só o 2 serve.

\[x = 2\]
1 valor; total 5

Preparar o terreno antes de calcular.

Dados

GrandezaValor
Base x² − 5x + 5
Expoente x² + 4x − 60
Pergunta quantos x reais dão 1

Conversões

Nenhuma.

Estratégia

  1. Caso 1: expoente zero, base diferente de zero.
  2. Caso 2: base igual a 1.
  3. Caso 3: base igual a −1, expoente par. Some sem repetir.

Agora sim, calcular.

Passos lógicos

A resolução tem 4 passos. Revele um de cada vez e, antes de abrir cada um, tente prever a linha de raciocínio.

1

Expoente zero

Raízes 6 e −10; base 11 e 155.

\[x \in \{6, -10\}\]
2

Base 1

x² − 5x + 4 = 0.

\[x \in \{1, 4\}\]
3

Base −1

x² − 5x + 6 = 0: 2 e 3. Expoente em 2 é −48, par; em 3 é −39, ímpar.

\[x = 2\]
4

Contar

Sem repetição.

\[2 + 2 + 1 = 5\]

Resposta

\[5\ \text{valores}\]
Alternativa D

Acelerar, conferir e escapar da armadilha.

Como resolver rápido

\[a^{b} = 1 \iff b = 0,\ a \ne 0 \ \text{ou}\ a = 1 \ \text{ou}\ a = -1,\ b \ \text{par}\]

Os três casos são a conta. O atalho é a paridade: só o expoente da base −1 precisa ser calculado, e só para 2 e 3.

1Os três casos dão 2, 2 e 2 candidatos; a paridade tira um

\(x = 3\) dá expoente ímpar. Total 5. Conta rápida.

Avaliar a coerência

1Piso: os dois primeiros casos já dão 4, sem sobreposição

6, −10, 1, 4 são distintos. Atalho mental. Elimina (A) e (B).

2Teto: o caso −1 tem dois candidatos, e um cai pela paridade

No máximo 6, e 3 não serve. Elimina (E), e (C) esquece o caso −1. Confirma (D).

Cuidado com a pegadinha

Esquecer a base −1, ou aceitar os dois candidatos dela

Quem só lembra de expoente zero e base 1 marca (C), 4. Quem lembra da base −1 e não confere a paridade marca (E), 6.

A banca pôs os dois erros na lista, em volta da resposta. O terceiro caso existe, e vem com condição: expoente par, o que só o 2 cumpre.

AntídotoTrês casos, e o terceiro com paridade. Calcule o expoente em cada raiz da base −1 antes de contar.