Cesgranrio · Transpetro · Profissional de Nível Médio Júnior, ênfase Dutos e Terminais · 2023 · questão 11

Cesgranrio Transpetro 2023 Matemática · Funções e equações exponenciais também em Matemática · Conjuntos numéricos

Questão 11

Considerando-se os números reais \(2^{75}\), \(3^{50}\) e \(4^{37}\), o menor e o maior deles são, respectivamente,

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Resposta da banca: A

Resolução comentada

Situar o problema antes de calcular.

Assunto

Potenciação — comparação de potências com bases e expoentes diferentes.

Objetivo

Pôr em ordem \(2^{75}\), \(3^{50}\) e \(4^{37}\) sem calcular nenhuma delas. O que está em jogo é saber que só se compara potência com a mesma base ou com o mesmo expoente, e que as propriedades da potenciação servem para trazer as três a uma dessas formas.

Conceitos para revisar

Potência de potência

Elevar uma potência a outro expoente multiplica os expoentes. É a propriedade que troca um expoente grande por um expoente comum: \(75\) é três vezes \(25\), e \(50\) é duas vezes \(25\).

\[(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}\]

\(a\)base, aqui um número positivo

\(m\), \(n\)expoentes

Mesma base: manda o expoente

Com base maior que 1, a potência cresce com o expoente. Por isso \(2^{74}\) é menor que \(2^{75}\), e a conta não precisa ser feita.

\[a > 1 \ \text{e}\ m < n \ \Longrightarrow\ a^{m} < a^{n}\]

\(a\)base comum

\(m\), \(n\)os expoentes comparados

Mesmo expoente: manda a base

Com o mesmo expoente positivo, vence a base maior. Basta então comparar \(8\) com \(9\) quando as duas potências estão elevadas a \(25\).

\[0 < a < b \ \Longrightarrow\ a^{n} < b^{n}\]

\(a\), \(b\)as bases comparadas

\(n\)expoente comum, positivo

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