Questão 38

Juliana nasceu no dia 25 de maio de 1980. Ela deseja fazer uma senha de seis dígitos para acesso a um site usando apenas vogais e algarismos que aparecem em seu nome e em sua data de nascimento. Juliana decidiu que sua senha terá todos os dígitos distintos e que a quantidade de letras e de algarismos será a mesma. De quantos modos distintos Juliana poderá escrever sua senha, se as letras devem, obrigatoriamente, ficar juntas (seguidas)?

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Resposta da banca: A

Resolução comentada

Situar o problema antes de calcular.

Assunto

Análise combinatória — arranjos de letras e de algarismos, com as letras em bloco.

Objetivo

Contar as senhas de seis dígitos distintos, três vogais do nome Juliana e três algarismos da data 25/05/1980, com as letras juntas. O que está em jogo é contar as vogais distintas, três e não quatro, os algarismos distintos, seis, e as posições do bloco de letras.

Conceitos para revisar

Os símbolos disponíveis

Vogais de Juliana: U, I, A, A. Distintas, três: U, I, A. Algarismos de 25/05/1980: 2, 5, 0, 5, 1, 9, 8, 0. Distintos, seis: 0, 1, 2, 5, 8, 9. Como os dígitos da senha são distintos, a repetição no nome e na data não conta.

\[3\ \text{vogais}, \quad 6\ \text{algarismos}\]

vogais distintasU, I, A

algarismos distintos0, 1, 2, 5, 8, 9

Arranjos: escolher e ordenar

Três letras distintas entre três, em ordem: \(3 \cdot 2 \cdot 1\). Três algarismos distintos entre seis, em ordem: \(6 \cdot 5 \cdot 4\).

\[A_{3,3} = 6 \qquad A_{6,3} = 120\]

\(A_{n,k}\)arranjos de \(n\) tomados \(k\) a \(k\)

O bloco de letras

As três letras juntas formam um bloco que ocupa três casas seguidas entre seis. O bloco pode começar na casa 1, 2, 3 ou 4: quatro posições. Os algarismos preenchem as outras três casas, na ordem escolhida.

\[N = 4 \cdot 6 \cdot 120\]

\(4\)posições do bloco

\(6\)ordens das letras

\(120\)escolhas ordenadas dos algarismos

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