Cesgranrio Transpetro 2006 Matemática · Sistemas lineares

Questão 21

Considere o sistema \(\left\{ \begin{array}{l} 2x - 4y - 3z = 7\\ x + 3y - 2z = 3\\ x + y + z = 6 \end{array} \right.\)

Com relação à sua solução, é correto afirmar que \(x\) é múltiplo de:

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Resposta da banca: C

Resolução comentada

Situar o problema antes de calcular.

Assunto

Sistemas lineares — três equações e três incógnitas, resolvido por substituição.

Objetivo

Achar o valor de \(x\) na solução do sistema e dizer de que número ele é múltiplo. O que está em jogo é escolher por onde começar: a terceira equação, \(x + y + z = 6\), é a mais simples e serve para eliminar \(z\) das outras duas.

Conceitos para revisar

Substituição: isole na equação mais simples

Numa equação com coeficientes 1, uma incógnita se isola sem fração. Isolar \(z\) na terceira equação e substituir nas outras duas transforma o sistema 3×3 em um 2×2.

\[z = 6 - x - y\]

\(z\)isolada na terceira equação, a única com coeficientes 1

O sistema 2×2 que sobra

Depois da substituição, as duas primeiras equações ficam só com \(x\) e \(y\). Uma delas dá \(y\) em função de \(x\), e a outra fecha.

\[3x + 5y = 15 \qquad 5x - y = 25\]

primeirada segunda equação original

segundada primeira equação original

Múltiplo

Um número é múltiplo de outro quando a divisão é exata. As alternativas são primos, e o valor de \(x\) que sai do sistema só é múltiplo de um deles.

\[x = 5 = 5 \cdot 1\]

\(5\)múltiplo de 5, e de nenhum dos outros primos da lista

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