Cesgranrio · Transpetro · Profissional de Nível Médio Júnior, ênfase Manutenção – Elétrica · 2023 · questão 50

Cesgranrio Transpetro 2023 Manutenção elétrica · Modelagem, realimentação e controle em malha fechada

Questão 50

Um Sistema de Controle Linear, na configuração de Malha Fechada com realimentação de saída, apresenta, como modelo, a seguinte Função de Transferência de Malha Fechada em função do ganho proporcional de malha K. \[ G(s) = \frac{Y(s)}{R(s)} = \frac{K}{s^{3} + 15s^{2} + 50s + K} \] Esse modelo relaciona a saída Y(s) do sistema, com a entrada de referência R(s) e apresenta, no domínio do tempo, o sinal de saída y(t) em função do sinal de entrada r(t).

Variando-se positivamente o ganho K, chega-se a um determinado valor que provoca uma oscilação pura no sinal de saída y(t), ou seja, o sistema, em MF, passa a ter dois polos imaginários puros.

Qual é o valor do ganho K para obtenção dessa oscilação senoidal com valor de pico constante?

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Resposta da banca: E

Resolução comentada

Situar o problema antes de calcular.

Assunto

Controle — o ganho que leva um sistema de terceira ordem à oscilação sustentada, pelo critério de Routh.

Objetivo

Achar o ganho \(\text{K}\) em que a saída oscila com amplitude constante. O que está em jogo é reconhecer que oscilação pura é par de polos no eixo imaginário, e que, para o polinômio cúbico do denominador, isso acontece quando o termo constante iguala o produto dos dois coeficientes do meio.

Conceitos para revisar

Polos no eixo imaginário

A saída oscila sem crescer nem decair quando dois polos de malha fechada ficam em \(\pm j\omega\): é a fronteira entre estável e instável.

\[s^{3} + 15 s^{2} + 50 s + \text{K} = 0\]

\(\text{K}\)ganho proporcional, o único coeficiente que varia

Critério de Routh para o cúbico

Para o cúbico de coeficientes \(a\), \(b\) e \(c\), o sistema é estável enquanto o produto de \(a\) por \(b\) supera \(c\); quando os dois se igualam, uma linha da tabela zera e o sistema oscila.

\[a\,b = c \,\Rightarrow\, \text{oscilação pura}\]

\(a = 15\), \(b = 50\), \(c = \text{K}\)

Frequência da oscilação

No limite, o polinômio auxiliar da linha de \(s^{2}\) dá a frequência da oscilação: a raiz de \(c\) sobre \(a\), que aqui coincide com a raiz de \(b\).

\[\omega = \sqrt{\dfrac{c}{a}} = \sqrt{b}\]

aqui, \(\sqrt{50} \approx 7{,}1\) rad/s

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