Questão 40

No canto de um depósito foram colocadas diversas caixas iguais, em forma de paralelepípedo reto retângulo, de dimensões 2x cm, 4x cm e 10x cm, como mostra a figura a seguir.

Se, juntas, as caixas ocupam 110.000cm\(^{3}\), a menor aresta de cada caixa, em cm, mede

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Resposta da banca: E

Resolução comentada

Situar o problema antes de calcular.

Assunto

Geometria espacial — volume de caixas iguais em função de \(x\), e o valor de \(x\) que fecha um número inteiro de caixas.

Objetivo

Achar a menor aresta de cada caixa de \(2x\) por \(4x\) por \(10x\), sabendo que juntas ocupam 110 000 cm³. O que está em jogo é contar as caixas na figura, ou, sem contar, usar que o número de caixas tem de ser inteiro, e só uma alternativa dá isso.

Conceitos para revisar

Volume de uma caixa

Produto das três dimensões, todas múltiplas de \(x\).

\[V_{1} = 2x \cdot 4x \cdot 10x = 80x^{3}\]

\(x\)a unidade das dimensões

\(2x\)a menor aresta

Volume total é caixas vezes uma caixa

Com \(n\) caixas, o total é \(80n\,x^{3}\). A figura mostra 11 caixas em degraus no canto.

\[80\,n\,x^{3} = 110\,000\]

\(n\)número de caixas, 11 na figura

Ou pela alternativa que dá inteiro

Sem contar, teste cada alternativa: o total dividido pelo volume de uma caixa tem de ser inteiro. Só \(2x\) igual a 5 ou a 10 dá inteiro, 88 ou 11 caixas, e a figura mostra uma dúzia, não 88.

\[n = \dfrac{110\,000}{80x^{3}}\]

\(n\) inteiro só com \(x = 2{,}5\) ou \(x = 5\)

a figura decide entre 88 e 11

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