Cesgranrio · Transpetro · Profissional de Nível Médio Júnior, ênfase Inspeção de Equipamentos e Instalações · 2023 · questão 47

Cesgranrio Transpetro 2023 Inspeção de equipamentos e instalações · Flexão e torção

Questão 47

Um eixo maciço possui dois trechos com diâmetros D e d, conforme representado na Figura. A tensão cisalhante máxima devida à torção é calculada pela expressão \(\tau = TR/J\), onde J é o momento polar da seção transversal (\(J = \pi\cdot R^{4}/2\)).

Considere que o eixo está sob ação do torque T, e seus diâmetros estão na relação \(D/d = 1{,}2\).

A relação entre as tensões cisalhantes \(\tau_A/\tau_B\), atuantes nas superfícies dos dois trechos do eixo, nos pontos A e B, é

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Resposta da banca: D

Resolução comentada

Situar o problema antes de calcular.

Assunto

Resistência dos materiais — tensão cisalhante de torção em dois diâmetros.

Objetivo

Achar a razão entre as tensões cisalhantes nos pontos A, no trecho fino, e B, no trecho grosso, do mesmo eixo sob o torque \(T\). O que está em jogo é ver que a tensão de torção varia com o inverso do cubo do raio, e por isso a razão de diâmetros 1,2 aparece elevada ao cubo.

Conceitos para revisar

Tensão cisalhante máxima na torção

Ocorre na superfície do eixo e vale o torque vezes o raio sobre o momento polar de inércia, que a questão fornece.

\[\tau = \dfrac{T\,R}{J}\]

\(\tau\)tensão cisalhante máxima

\(T\)torque, o mesmo nos dois trechos

\(R\)raio do trecho

\(J\)momento polar da seção

O momento polar cresce com a quarta potência

Substituindo \(J\) da seção circular, a tensão fica proporcional ao inverso do cubo do raio: o trecho fino sofre muito mais.

\[\tau = \dfrac{T\,R}{\pi R^{4}/2} = \dfrac{2T}{\pi R^{3}}\]

\(\tau \propto 1/R^{3}\)

Razão de tensões

Como \(T\) é o mesmo e o fator \(2/\pi\) se simplifica, a razão entre as tensões é a razão inversa dos raios ao cubo, e razão de raios é razão de diâmetros.

\[\dfrac{\tau_A}{\tau_B} = \left(\dfrac{R_B}{R_A}\right)^{3} = \left(\dfrac{D}{d}\right)^{3}\]

\(A\) está no trecho de diâmetro \(d\), o fino

\(B\) está no trecho de diâmetro \(D\)

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