Questão 18

Com oito cubos iguais, de aresta \(n\), é possível montar diversos sólidos de mesmo volume. Dois desses sólidos são representados a seguir.

Sejam \(S_{1}\) e \(S_{2}\) as áreas das superfícies dos sólidos I e II, respectivamente.

A diferença \(S_{1}-S_{2}\) equivale a

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Resposta da banca: A

Resolução comentada

Situar o problema antes de calcular.

Assunto

Geometria espacial — área da superfície de sólidos feitos de cubos: faces totais menos as escondidas nos contatos.

Objetivo

Achar a diferença entre as áreas dos dois sólidos de oito cubos, um em L e um cubo 2 por 2 por 2. O que está em jogo é contar os contatos entre cubos no sólido I, cada um escondendo duas faces.

Conceitos para revisar

Faces escondidas

Oito cubos soltos têm 48 faces de n². Cada contato face a face esconde duas. O sólido I tem uma fila de 6, com 5 contatos, e dois cubos empilhados sobre o primeiro, com 2 contatos: 7 contatos.

\[S_{1} = (48 - 2 \cdot 7)\,n^{2} = 34n^{2}\]

\(7\) contatos, 14 faces escondidas

O cubo grande

Aresta 2n, seis faces.

\[S_{2} = 6\,(2n)^{2} = 24n^{2}\]

\(S_{1} - S_{2} = 10n^{2}\)

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