Questão 49

Considere as funções \(f(x) = 2\cos x\) e \(g(x) = 1 + 4\cos x\), ambas de domínio real. No intervalo \([0;\ 2\pi]\), um dos valores de \(x\) que satisfaz a igualdade \(f(x) = g(x)\) é

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Resposta da banca: C

Resolução comentada

Situar o problema antes de calcular.

Assunto

Trigonometria — igualar duas funções do cosseno e achar o arco no intervalo.

Objetivo

Achar um x em [0, 2π] com 2cos x = 1 + 4cos x. O que está em jogo é isolar cos x, chegar a −1/2, e lembrar em que quadrantes o cosseno é negativo.

Conceitos para revisar

Isolar o cosseno

Passe os cossenos para um lado e o número para o outro. Fica uma equação do 1º grau em cos x.

\[2\cos x - 4\cos x = 1 \quad\Rightarrow\quad \cos x = -\dfrac{1}{2}\]

\(\cos x\)a incógnita

Cosseno negativo: 2º e 3º quadrantes

O arco de referência de 1/2 é π/3. Com sinal negativo, o arco fica no 2º quadrante, π − π/3, ou no 3º, π + π/3.

\[x = \pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3} \qquad\text{ou}\qquad x = \dfrac{4\pi}{3}\]

\(\cos(\pi/3) = 1/2\)

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