Questão 48

Um cilindro maciço de alumínio encontra-se em equilíbrio, boiando imerso parcialmente em mercúrio. O conjunto é apoiado em uma balança como mostra a Figura 1.

Em determinado momento, é aplicada uma força vertical para baixo sobre o cilindro, fazendo-o submergir completamente e ficar em equilíbrio sem encostar no fundo (Figura 2).

Qual é, aproximadamente, o módulo da diferença entre as medidas, em newtons, feitas pela balança?

Dados
Densidade do mercúrio \(=13{,}6\times 10^{3}\) kg\(\cdot\)m\(^{-3}\)
Densidade do alumínio \(=2{,}72\times 10^{3}\) kg\(\cdot\)m\(^{-3}\)
Aceleração da gravidade \(=10\) m\(\cdot\)s\(^{-2}\)
\(\pi=3\)

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Resposta da banca: C

Resolução comentada

Situar o problema antes de calcular.

Assunto

Hidrostática — empuxo, condição de flutuação e o que uma balança sob o recipiente realmente mede.

Objetivo

Duas decisões, nenhuma aritmética: ler que os 12,0 cm da figura são a parte emersa (a altura total vem da razão das densidades) e reconhecer que o cilindro boiando já descarrega todo o seu peso na balança — logo a diferença entre as leituras é a variação do empuxo.

Conceitos para revisar

Empuxo

O líquido empurra o corpo para cima com o peso do líquido que ele expulsou do lugar. Só entra o volume que está dentro do líquido.

\[E = \rho_{\text{líq}}\,V_{\text{desl}}\,g\]

\(E\)empuxo

\(\rho_{\text{líq}}\)densidade do líquido

\(V_{\text{desl}}\)volume de líquido deslocado

\(g\)aceleração da gravidade

Boiar é afundar a fração das densidades

Boiando em equilíbrio, o empuxo iguala o peso, e sobra a razão das densidades. Alumínio em mercúrio: \(2{,}72\) sobre \(13{,}6\) é um quinto. O cilindro afunda um quinto da própria altura e deixa quatro quintos de fora.

\[\dfrac{V_{\text{sub}}}{V} = \dfrac{\rho_{\text{corpo}}}{\rho_{\text{líq}}}\]

\(V_{\text{sub}}\)volume submerso

\(V\)volume total do corpo

\(\rho_{\text{corpo}}\), \(\rho_{\text{líq}}\)densidades do corpo e do líquido

O que a balança mede

Ela sustenta o recipiente com o mercúrio. Pela terceira lei, o cilindro devolve ao líquido uma força para baixo de módulo igual ao empuxo. A leitura é, então, o peso do recipiente com mercúrio mais o empuxo que o mercúrio faz no cilindro, e só esta parcela muda de uma figura para a outra.

Volume do cilindro

O raio é a metade do diâmetro. O enunciado manda usar \(\pi\) igual a 3: sinal de que os números foram escolhidos para fechar redondo.

\[V = \pi\,r^{2}\,h\]

\(r\)raio do cilindro

\(h\)altura do cilindro

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