Cesgranrio Transpetro 2006 Matemática · Áreas e perímetros

Questão 23

A figura acima mostra um quadrado ABCD de lado 3, repartido em 9 quadrados menores todos iguais que, por sua vez, estão divididos, cada um, em 4 pedaços iguais. A área destacada vale:

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Resposta da banca: C

Resolução comentada

Situar o problema antes de calcular.

Assunto

Geometria plana — área por contagem de pedaços iguais, sem fórmula de hexágono.

Objetivo

Achar a área do hexágono sombreado dentro do quadrado de lado 3. O que está em jogo é perceber que a figura é feita de pedaços todos iguais, de área conhecida, e que a região sombreada é um número inteiro desses pedaços: contar substitui calcular.

Conceitos para revisar

Área do pedaço

O quadrado de lado 3 tem 9 quadrados de lado 1, cada um de área 1. Cada um deles está cortado em 4 pedaços iguais, então cada pedaço tem um quarto de área.

\[A_{\text{pedaço}} = \dfrac{1}{4}\]

\(1\)área de cada quadrado pequeno, de lado 1

\(4\)pedaços iguais em cada quadrado pequeno

Contar em vez de calcular

Quando uma região é formada por pedaços iguais inteiros, a área é o número de pedaços vezes a área de um. A forma da região não importa.

\[A = N \cdot A_{\text{pedaço}}\]

\(N\)quantos pedaços a região cobre

Onde o hexágono está

O hexágono é simétrico em relação à linha vertical central da figura e ocupa dois quadrados de altura. Em cada um dos quatro quadrados pequenos que ele toca, ele cobre exatamente os dois pedaços encostados na linha central.

\[N = 4 \cdot 2 = 8\]

\(4\)quadrados pequenos que o hexágono toca

\(2\)pedaços cobertos em cada um

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