Cesgranrio · Petrobras · Técnico(a) de Operação Júnior · 2017 · questão 11

Cesgranrio Petrobras 2017 Matemática · Teoria dos conjuntos também em Matemática · Sistemas lineares

Questão 11

Os conjuntos \(P\) e \(Q\) têm \(p\) e \(q\) elementos, respectivamente, com \(p+q=13\). Sabendo-se que a razão entre o número de subconjuntos de \(P\) e o número de subconjuntos de \(Q\) é \(32\), quanto vale o produto \(pq\)?

Ver o gabarito oficial

Resposta da banca: C

Resolução comentada

Situar o problema antes de calcular.

Assunto

Conjuntos — um conjunto de n elementos tem 2 elevado a n subconjuntos, e a razão vira diferença de expoentes.

Objetivo

Achar pq, com p + q igual a 13 e a razão entre os subconjuntos de P e de Q igual a 32. O que está em jogo é escrever 32 como 2 elevado a 5 e transformar a razão em p − q igual a 5.

Conceitos para revisar

Subconjuntos

Cada elemento entra ou não: 2 escolhas por elemento.

\[n(\mathcal{P}(P)) = 2^{p} \qquad n(\mathcal{P}(Q)) = 2^{q}\]

inclui o vazio e o próprio conjunto

Razão de potências

Dividir potências de mesma base subtrai os expoentes. 32 é 2 elevado a 5.

\[\dfrac{2^{p}}{2^{q}} = 2^{p - q} = 2^{5} \quad\Rightarrow\quad p - q = 5\]

com \(p + q = 13\)\(p = 9\), \(q = 4\)

Preparar o terreno antes de calcular.

Dados

Grandeza	Valor
p + q	13
Razão dos subconjuntos	32 = 2⁵
Pergunta	pq

Conversões

32 em potência de 2.

Estratégia

Transforme a razão em p − q = 5.
Resolva soma e diferença.
Multiplique.

Agora sim, calcular.

Passos lógicos

A resolução tem 3 passos. Revele um de cada vez e, antes de abrir cada um, tente prever a linha de raciocínio.

A razão

Expoentes se subtraem.

\[2^{p - q} = 32 = 2^{5} \quad\Rightarrow\quad p - q = 5\]

Soma e diferença

Some as equações.

\[p = 9 \qquad q = 4\]

Produto

Multiplique.

\[pq = 36\]

Resposta

\[pq = 36\]

Alternativa C

Acelerar, conferir e escapar da armadilha.

Como resolver rápido

\[p - q = \log_{2} 32 = 5\]

A razão de potências é a conta. O atalho é já ler 32 como 5 e ir para soma e diferença.

1Soma 13, diferença 5: 9 e 4

Produto 36. Atalho mental.

Avaliar a coerência

1Confira: 2⁹ sobre 2⁴ é 2⁵, 32

Atalho mental. Confirma (C).

2Com soma 13, os produtos possíveis são 12, 22, 30, 36, 40 e 42

Entre as alternativas, 36 e 42; 42 seria 6 e 7, com razão 2, e não 32. Elimina (A), (B), (D) e (E).