Cesgranrio Transpetro 2006 Matemática · Áreas e volumes também em Matemática · Relações métricas e semelhança

Questão 25

A pirâmide reta, ilustrada acima, tem base quadrada de aresta igual a 10cm, o ponto O como centro do quadrado, M como ponto médio de AB, e VM \(=\) 13cm. O volume dessa pirâmide, em cm\(^{3}\), é:

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Resposta da banca: B

Resolução comentada

Situar o problema antes de calcular.

Assunto

Geometria espacial — volume da pirâmide, com a altura escondida atrás do apótema.

Objetivo

Achar o volume da pirâmide de base quadrada de 10 cm e apótema VM de 13 cm. O que está em jogo é ver que 13 não é a altura: é a distância do vértice ao meio de uma aresta da base, e a altura sai de um triângulo retângulo com cateto 5.

Conceitos para revisar

Volume da pirâmide

Um terço da área da base vezes a altura. O terço é o que a diferencia do prisma de mesma base.

\[V = \dfrac{1}{3} \cdot A_{\text{base}} \cdot h\]

\(A_{\text{base}}\)área do quadrado, \(10^{2}\)

\(h\)altura, de V ao centro O da base

Apótema não é altura

VM é o apótema da face, a altura do triângulo VAB. Ele é inclinado. A altura da pirâmide é VO, vertical, do vértice ao centro. Os dois formam com OM um triângulo retângulo em O.

\[VM^{2} = VO^{2} + OM^{2}\]

\(VM\)apótema, 13 cm

\(VO\)altura \(h\)

\(OM\)do centro ao meio da aresta, metade do lado, 5 cm

O terno 5-12-13

Triângulo retângulo com hipotenusa 13 e cateto 5 tem o outro cateto 12. É um dos ternos que valem guardar.

\[5^{2} + 12^{2} = 13^{2}\]

\(5\), \(12\)catetos

\(13\)hipotenusa

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