Questão 14

Uma loja de departamento colocou 11 calças distintas em uma prateleira de promoção, sendo 3 calças de R$ 50,00, 4 calças de R$ 100,00 e 4 calças de R$ 200,00. Um freguês vai comprar exatamente três dessas calças gastando, no máximo, R$ 400,00.

De quantos modos diferentes ele pode efetuar a compra?

Ver o gabarito oficial

Resposta da banca: D

Resolução comentada

Situar o problema antes de calcular.

Assunto

Combinatória — contar todas as escolhas e tirar as que estouram o limite.

Objetivo

Contar de quantos modos se compram três calças entre onze, de 50, 100 e 200 reais, gastando no máximo 400. O que está em jogo é ver que só as compras com duas ou três calças de 200 passam de 400, e tirá-las do total.

Conceitos para revisar

Todas as escolhas

Três calças entre onze, distintas, sem ordem.

\[C_{11,3} = 165\]

total

As que passam de 400

Três de 200: 600. Duas de 200 e uma de 100: 500. Duas de 200 e uma de 50: 450. Uma de 200 com duas de 100 dá 400, que cabe.

\[C_{4,3} + C_{4,2} \cdot 4 + C_{4,2} \cdot 3 = 4 + 24 + 18 = 46\]

$165 - 46 = 119$

Preparar o terreno antes de calcular.

Dados

Grandeza	Valor
Calças	3 de 50, 4 de 100, 4 de 200, todas distintas
Compra	3 calças, no máximo 400
Pergunta	número de compras possíveis

Conversões

Nenhuma: contagem.

Estratégia

Conte todas: C(11,3).
Conte as que passam de 400: duas ou três de 200.
Subtraia.

Agora sim, calcular.

Passos lógicos

A resolução tem 3 passos. Revele um de cada vez e, antes de abrir cada um, tente prever a linha de raciocínio.

Todas

Três entre onze.

\[C_{11,3} = \dfrac{11 \cdot 10 \cdot 9}{6} = 165\]

As que estouram

Três de 200, ou duas de 200 com outra qualquer das 7.

\[C_{4,3} + C_{4,2} \cdot 7 = 4 + 42 = 46\]

Responder

Subtraia.

\[165 - 46 = 119\]

Resposta

\[119\ \text{modos}\]

Alternativa D

Acelerar, conferir e escapar da armadilha.

Como resolver rápido

\[N = C_{11,3} - C_{4,3} - C_{4,2} \cdot 7\]

O complementar é a conta. O atalho é juntar as sete calças baratas num grupo só: duas de 200 com qualquer uma das outras 7 estoura.

1Duas de 200 mais qualquer das 7 estoura

$6 \cdot 7 = 42$, mais 4 de três de 200. Tire 46 de 165. Conta rápida.

Avaliar a coerência

1Teto: menos que todas as compras, 165

Algumas estouram. Atalho mental. Elimina (E).

2Piso: as sem calça de 200 já são 35, e as com uma de 200 são 84

$C_{7,3} + 4 \cdot C_{7,2} = 35 + 84 = 119$. Conta rápida, pelo caminho direto. Confirma (D) e elimina (A), (B) e (C).

Cuidado com a pegadinha

Responder as que estouram

Quem conta as 46 compras acima de 400 e marca (A), sem subtrair de 165.

A banca pôs o complementar na lista. Contar o que não serve é caminho válido, desde que se tire do total no fim.

AntídotoDepois de contar, pergunte se contou o que a questão quer. Se contou o contrário, subtraia.