Cesgranrio · Petrobras · Técnico(a) de Operação Júnior · 2011 · questão 17

Cesgranrio Petrobras 2011 Matemática · Áreas e volumes também em Matemática · Relações métricas e semelhança

Questão 17

A figura acima mostra um triângulo com as medidas de seus lados em metros. Uma pirâmide de base quadrada tem sua superfície lateral formada por quatro triângulos iguais aos da figura acima. O volume dessa pirâmide, em metros cúbicos, é, aproximadamente

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Resposta da banca: A

Resolução comentada

Situar o problema antes de calcular.

Assunto

Geometria espacial — pirâmide de base quadrada, com a altura tirada em dois Pitágoras: apótema da face e depois altura.

Objetivo

Achar o volume aproximado da pirâmide cujas quatro faces laterais são triângulos de lados 9, 9 e 6. O que está em jogo é ver que o lado 6 é a aresta da base, achar o apótema da face, e só então a altura, que é menor que o apótema.

Conceitos para revisar

O lado diferente é a aresta da base

As quatro faces se encontram na base pelo lado que elas têm em comum com o quadrado. Os lados 9 são as arestas laterais, e o 6 é a aresta da base.

\[\text{base: quadrado de lado } 6 \quad\Rightarrow\quad A_{b} = 36\]

\(A_{b}\)área da base

Apótema da face

A altura do triângulo isósceles, do vértice até o meio do lado 6, por Pitágoras com 9 e 3.

\[a = \sqrt{9^{2} - 3^{2}} = \sqrt{72} \approx 8{,}49\]

\(a\)apótema da pirâmide

Altura da pirâmide

O apótema é a hipotenusa de outro triângulo, com a altura e a metade da aresta da base, 3.

\[h = \sqrt{a^{2} - 3^{2}} = \sqrt{72 - 9} = \sqrt{63} \approx 7{,}94\]

\(h\)altura

\(V = \dfrac{A_{b}\,h}{3}\)

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