Cesgranrio Petrobras 2006 Matemática · Áreas e perímetros

Questão 16

De uma peça quadrada de madeira de 2,2m de lado, um marceneiro recortou um tampo de mesa perfeitamente redondo, com o maior diâmetro possível. Qual a área aproximada, em m\(^{2}\), desse tampo de madeira?

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Resposta da banca: E

Resolução comentada

Situar o problema antes de calcular.

Assunto

Geometria plana — o maior círculo dentro de um quadrado e a área dele.

Objetivo

Achar a área do tampo redondo de maior diâmetro que sai de um quadrado de 2,2 m de lado. O que está em jogo é ver que o diâmetro máximo é o lado do quadrado, e que a fórmula da área usa o raio, metade disso.

Conceitos para revisar

O maior círculo inscrito no quadrado

O círculo cresce até tocar os quatro lados. Nesse ponto o diâmetro é igual ao lado do quadrado, e o raio é a metade do lado.

\[D = \ell \qquad r = \dfrac{\ell}{2}\]

\(\ell\)lado do quadrado, 2,2 m

\(D\)diâmetro do tampo

\(r\)raio do tampo

Área do círculo

Pi vezes o raio ao quadrado. O quadrado é do raio, não do diâmetro: usar o diâmetro dá uma área quatro vezes maior.

\[A = \pi r^{2}\]

\(A\)área do tampo

\(\pi\)aproximadamente 3,14

O círculo ocupa cerca de 78% do quadrado

A razão entre a área do círculo inscrito e a do quadrado é \(\pi / 4\), perto de 0,785. Serve para conferir: o tampo tem menos área que a peça, mas não muito menos.

\[\dfrac{A_{\text{círculo}}}{A_{\text{quadrado}}} = \dfrac{\pi}{4} \approx 0{,}785\]

\(A_{\text{quadrado}} = \ell^{2}\)área da peça inteira

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