Questão 12

Qual o maior valor de \(k\) na equação \(\log(kx)=2\log(x+3)\) para que ela tenha exatamente uma raiz?

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Resposta da banca: E

Resolução comentada

Situar o problema antes de calcular.

Assunto

Equação logarítmica — igualar os argumentos, chegar a uma quadrática em x, e pedir raiz única com discriminante zero.

Objetivo

Achar o maior k para que log(kx) = 2 log(x + 3) tenha exatamente uma raiz. O que está em jogo é transformar em kx = (x + 3)², zerar o discriminante, e descartar o k que anula o logaritmo.

Conceitos para revisar

Igualar argumentos

2 log(x + 3) é log de (x + 3)². Logs iguais, argumentos iguais, com os argumentos positivos.

\[kx = (x + 3)^{2} \quad\Rightarrow\quad x^{2} + (6 - k)x + 9 = 0\]

condições\(kx > 0\) e \(x + 3 > 0\)

Raiz única

Discriminante zero.

\[(6 - k)^{2} - 36 = 0 \quad\Rightarrow\quad k = 0 \ \text{ou}\ k = 12\]

\(k = 0\) dá \(\log 0\), inválido

Conferir k = 12

A equação vira x² − 6x + 9 = 0, raiz dupla 3. E 12 vezes 3 é positivo, x + 3 também.

\[x = 3, \quad kx = 36 > 0\]

raiz válida

Preparar o terreno antes de calcular.

Dados

Grandeza	Valor
Equação	log(kx) = 2 log(x + 3)
Condição	exatamente uma raiz
Pergunta	maior k

Conversões

2 log(x + 3) em log(x + 3)².

Estratégia

Iguale kx a (x + 3)² e arrume a quadrática.
Zere o discriminante.
Descarte o k que anula o argumento e fique com o maior.

Agora sim, calcular.

Passos lógicos

A resolução tem 3 passos. Revele um de cada vez e, antes de abrir cada um, tente prever a linha de raciocínio.

Quadrática

Argumentos iguais.

\[x^{2} + (6 - k)x + 9 = 0\]

Discriminante zero

Raiz dupla.

\[(6 - k)^{2} = 36 \quad\Rightarrow\quad k = 0 \ \text{ou}\ 12\]

Escolher

k = 0 dá log 0. O maior válido é 12, com raiz 3.

\[k = 12\]

Resposta

\[k = 12\]

Alternativa E

Acelerar, conferir e escapar da armadilha.

Como resolver rápido

\[\Delta = (6 - k)^{2} - 36 = 0\]

O discriminante é a conta. O atalho é fatorar a diferença de quadrados: (6 − k − 6)(6 − k + 6) = 0.

1Diferença de quadrados: −k(12 − k) = 0

\(k = 0\) ou \(12\). O maior é 12. Atalho mental.

Avaliar a coerência

1Confira com k = 12: (x − 3)² = 0, raiz 3, argumentos positivos

Conta rápida. Confirma (E).

2Com k = 9 ou 6 o discriminante é negativo, sem raiz; com 3, também

\((6 - k)^{2} < 36\) para \(k\) entre 0 e 12. Elimina (B), (C) e (D). E \(k = 0\) anula o argumento: elimina (A).