Questão 19

Em um laboratório de pesquisas científicas, um cientista observou que a população de certa colônia de bactérias dobrava a cada hora. Se, após \(t\) horas, essa população de bactérias correspondia a dez vezes a população inicial, pode-se afirmar que \(t\) é um número que pertence ao intervalo

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Resposta da banca: C

Resolução comentada

Situar o problema antes de calcular.

Assunto

Função exponencial — população que dobra a cada hora, e o tempo para multiplicar por 10.

Objetivo

Achar em que intervalo está o tempo \(t\) em que a colônia chega a dez vezes a população inicial. O que está em jogo é escrever o crescimento como potência de 2 e enquadrar 10 entre duas potências vizinhas, sem precisar de logaritmo.

Conceitos para revisar

Dobrar a cada hora é potência de 2

Depois de 1 hora, o dobro; depois de 2, o quádruplo; depois de \(t\) horas, \(2^{t}\) vezes. A população inicial multiplica essa potência.

\[P(t) = P_{0} \cdot 2^{t}\]

\(P_{0}\)população inicial

\(t\)tempo, em horas

\(2^{t}\)fator de crescimento

A condição da questão

Dez vezes a inicial quer dizer que o fator vale 10. A incógnita é o expoente.

\[2^{t} = 10\]

\(t\)o tempo procurado

Enquadrar entre potências inteiras

Não é preciso calcular \(t\). Basta achar as duas potências de 2 que cercam o 10: 8 é \(2^{3}\) e 16 é \(2^{4}\). O expoente fica entre 3 e 4.

\[2^{3} < 10 < 2^{4}\]

\(8 < 10 < 16\)

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