Cesgranrio Transpetro 2006 Matemática · Trigonometria também em Matemática · Relações métricas e semelhança

Questão 22

Um engenheiro, ao projetar uma rampa de acesso a uma garagem no subsolo, considerou duas hipóteses, como mostram os esquemas abaixo.

No esquema I, a rampa tem uma inclinação de 30\(^{\text{o}}\) e a distância AB corresponde à metade da distância AC do esquema II. Se, nas duas hipóteses, a altura h da rampa é a mesma, o valor da tangente do ângulo \(\alpha\) é:

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Resposta da banca: A

Resolução comentada

Situar o problema antes de calcular.

Assunto

Trigonometria — tangente no triângulo retângulo, com a mesma altura sobre duas bases diferentes.

Objetivo

Achar a tangente do ângulo \(\alpha\) da rampa mais comprida. O que está em jogo é ler a figura: as distâncias AB e AC são as bases horizontais, a altura \(h\) é a mesma nas duas, e dobrar a base com a mesma altura divide a tangente por dois.

Conceitos para revisar

Tangente no triângulo retângulo

A tangente de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto a ele e o cateto adjacente. Na rampa, o oposto é a altura e o adjacente é a distância horizontal.

\[\tan \theta = \dfrac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}} = \dfrac{h}{d}\]

\(h\)altura da rampa

\(d\)distância horizontal, a base

Tangente de 30°

É um dos valores que se decoram. Com ela, a altura sai da base da rampa I.

\[\tan 30^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\]

\(\sqrt{3}/3\)o mesmo que \(1/\sqrt{3}\)

Mesma altura, base dobrada

A tangente é altura sobre base. Se a altura não muda e a base dobra, a tangente cai pela metade. Isso vale sem calcular \(h\).

\[\tan \alpha = \dfrac{h}{2 \cdot AB} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{h}{AB} = \dfrac{\tan 30^{\circ}}{2}\]

\(AB\)base da rampa I

\(AC = 2 \cdot AB\)base da rampa II

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