Questão 19

Para ganhar o prêmio máximo na “Sena”, o apostador precisa acertar as seis “dezenas” sorteadas de um total de 60 “dezenas” possíveis. Certo apostador fez sua aposta marcando dez “dezenas” distintas em um mesmo cartão. Quantas chances de ganhar o prêmio máximo tem esse apostador?

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Resposta da banca: E

Resolução comentada

Situar o problema antes de calcular.

Assunto

Análise combinatória — quantos jogos de seis dezenas cabem numa aposta de dez.

Objetivo

Contar quantas chances tem quem marca dez dezenas num cartão da Sena. O que está em jogo é ver que cada grupo de seis dezenas dentro das dez é uma aposta, e que a ordem não importa: é combinação de 10 tomados 6 a 6, e os 60 do enunciado não entram.

Conceitos para revisar

Cada sexteto dentro das dez é uma aposta

Marcar dez dezenas equivale a fazer todos os jogos de seis que se podem formar com elas. Se as seis sorteadas estiverem entre as dez, um desses jogos é o vencedor. As chances são o número de sextetos.

\[N = C_{10,6}\]

\(N\)chances de ganhar

\(C_{10,6}\)grupos de 6 entre 10, sem ordem

Combinação, porque a ordem não importa

O jogo 1-2-3-4-5-6 é o mesmo em qualquer ordem. Por isso é combinação, e não arranjo.

\[C_{n,k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\]

\(n\)dezenas marcadas, 10

\(k\)dezenas por jogo, 6

Complementar para calcular menos

Escolher 6 entre 10 é o mesmo que escolher os 4 que ficam de fora. A conta com 4 é menor.

\[C_{10,6} = C_{10,4} = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\]

\(C_{10,4}\)os 4 que ficam de fora

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