Cesgranrio · Petrobras · Técnico(a) de Operação Júnior · 2017 · questão 18

Cesgranrio Petrobras 2017 Matemática · Relações métricas e semelhança também em Matemática · Trigonometria

Questão 18

Um arame de extremidades \(C\) e \(D\) e 8 cm de comprimento é dobrado de modo a formar um triângulo equilátero ABC mantendo os pontos \(B\), \(C\) e \(D\) alinhados, conforme a Figura a seguir.

Qual a distância, em centímetros, entre os pontos \(A\) e \(D\)?

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Resposta da banca: B

Resolução comentada

Situar o problema antes de calcular.

Assunto

Geometria plana — quatro segmentos iguais num arame, e a distância entre dois pontos por um triângulo de 120°.

Objetivo

Achar a distância AD, num arame de 8 cm dobrado em triângulo equilátero ABC com a ponta CD alinhada a BC. O que está em jogo é ler na figura que os quatro segmentos são iguais, cada um com 2 cm, e ver o ângulo de 120° em C.

Conceitos para revisar

Quatro segmentos iguais

O arame vai de C a A, de A a B, de B a C e de C a D, e a figura marca os quatro com o mesmo traço. Quatro segmentos de 8 cm: 2 cm cada.

\[CA = AB = BC = CD = 2\]

arame\(C \to A \to B \to C \to D\)

O ângulo em C

O ângulo ACB é 60°, e D está no prolongamento de BC. O ângulo ACD é o suplemento, 120°.

\[AD^{2} = 2^{2} + 2^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cos 120^{\circ} = 4 + 4 + 4 = 12\]

\(\cos 120^{\circ} = -1/2\)

Preparar o terreno antes de calcular.

A figura da prova

Um triângulo com A no topo, B embaixo à esquerda e C embaixo à direita. Da direita de C sai um segmento até D, na mesma reta de BC. Os lados AB e AC têm um tracinho cada, e BC e CD também, indicando os quatro iguais.

Dados

Grandeza	Valor
Arame	8 cm, de C a D
Segmentos	CA, AB, BC, CD iguais, na figura
Alinhamento	B, C, D na mesma reta
Pergunta	AD, em cm

Conversões

Nenhuma: centímetros.

Estratégia

Divida 8 pelos quatro segmentos iguais.
Ache o ângulo ACD, 120°.
Lei dos cossenos, ou altura do triângulo mais Pitágoras.

Agora sim, calcular.

Passos lógicos

A resolução tem 3 passos. Revele um de cada vez e, antes de abrir cada um, tente prever a linha de raciocínio.

Cada segmento

Quatro iguais em 8 cm.

\[2\ \text{cm}\]

Triângulo ACD

Dois lados 2 e ângulo 120° entre eles.

\[AD^{2} = 4 + 4 - 8 \cdot \left(-\tfrac{1}{2}\right) = 12\]

Responder

Raiz.

\[AD = 2\sqrt{3}\ \text{cm}\]

Resposta

\[AD = 2\sqrt{3}\ \text{cm}\]

Alternativa B

Acelerar, conferir e escapar da armadilha.

Como resolver rápido

\[AD^{2} = AC^{2} + CD^{2} - 2 \cdot AC \cdot CD \cos 120^{\circ}\]

A lei dos cossenos é a conta. O atalho é ver o triângulo ABD: B, C, D alinhados com BD = 4, e o ângulo em A reto, porque ACD é isósceles com 30° em D.

1ABD é retângulo em A, com hipotenusa 4 e cateto 2

\(AD = \sqrt{16 - 4} = 2\sqrt{3}\). Conta rápida.

Avaliar a coerência

1Piso: AD passa de 2, porque é o lado oposto ao ângulo obtuso de ACD

Atalho mental. Elimina (A), \(\sqrt{3}\), e (D), 2.

2Teto: menor que AC mais CD, 4

Desigualdade triangular. Elimina (E), 4, e (C), \(4\sqrt{3}\). Confirma (B).